Gás de Fermi no SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕESE DIMENS. FENOM.

Um gás de férmions, gás de Fermi ou gás de elétrons livres é um conjunto de férmions não interativos. É a versão na Mecânica Quântica de um gás ideal, para o caso de partículas fermiônicas. Elétrons em metais e semicondutores e nêutrons em estrelas de nêutrons podem aproximadamente ser considerados gases de Fermi.

A distribuição de energia dos férmions em um gás de Fermi em equilíbrio térmico é determinada por sua densidade, pela temperatura e pelos estados de energia disponíveis, via a estatística de Fermi-Dirac. Pelo princípio de exclusão de Pauli, nenhum estado quântico pode ser ocupado por mais que um férmion, então a energia total do gás de Fermi à temperatura do zero absoluto é tão grande quanto o produto do número de partículas pelo estado de energia de cada partícula. Por esta razão, a pressão de um gás Fermi é diferente de zero na temperatura de zero absoluto, em contraste com um gás ideal clássico. Esta então chamada pressão de degenerescência estabiliza uma estrela de nêutrons (um gás de Fermi de nêutrons) ou uma estrela anã branca (um gás de Fermi de elétrons) contra a tração interna da gravidade.

É possível definir uma temperatura de Fermi abaixo do qual o gás pode ser considerado degenerado. Esta temperatura depende da massa dos férmions e da energia da densidade dos estados. Para metais, a temperatura do gás de elétrons de Fermi é geralmente de muitos milhares de kelvins, quando então eles podem ser considerados degenerados. A máxima energia dos férmions a temperatura do zero absoluto é chamada energia de Fermi. A superfície da energia de Fermi no momento espacial é chamada superfície de Fermi.

Desde que as interações são negligenciadas por definição, o problema de tratar propriedades do equilíbrio e o comportamento dinâmico de um gás de Fermi se reduz ao estudo do comportamento de partículas independentes e isoladas. Como está, é ainda relativamente tratável e dá forma ao ponto de servir de base para teorias mais avançadas (tais como a teoria do líquido de Fermi ou a teoria perturbacional) as quais levam em conta as interações com algum grau de exatidão.

Descrição matemática[editar | editar código-fonte]

Dentro da estrutura que a física estatística possibilita, segue-se que com a ajuda de conjuntos estatísticos para um número médio de ocupação

\langle n_{i}\rangle

dos estados

|i\rangle

com a energia

E_{i}

da estatística de Fermi-Dirac:

\langle n_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{\frac {E_{i}-\mu }{k_{B}T}}+1}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Onde

\mu

é o potencial químico,

T

a temperatura e

k_{B}

a constante de Boltzmann.

Estes férmions, que estão sujeitos ao princípio de exclusão de Pauli, podem estar na condição de máxima ocupação, ou seja

\langle n_{i}\rangle \leq 1

. Esta condição é que a estatística de Fermi-Dirac tratará para qualquer valor de preenchimento pleno

\mu

, porque o potencial químico de um gás ideal de Fermi não é sujeito a quaisquer restrições.

Um gás de Bose ideal é uma versão quântica de um gás ideal clássico. Ele é composto de bósons, partículas que têm um valor inteiro de spin, e portanto obedecem a estatística de Bose-Einstein. A mecânica estatística de bósons foi desenvolvida por Satyendra Nath Bose para fótons, e estendida posteriormente por Albert Einstein para partículas massivas. Einstein percebeu que um gás ideal de bósons iria se condensar quando a temperatura fosse baixa o suficiente, o que não ocorre com um gás ideal clássico. Esta fase da matéria ficou conhecida como Condensado de Bose-Einstein.

Potencial termodinâmico[editar | editar código-fonte]

Devido a Interação de troca, a maneira mais simples de trabalhar com gases quânticos é com o ensemble grande canônico:

{\mathcal {Z}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{i}z^{N}e^{-\beta \varepsilon _{i}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

que para um gás fica:

{\mathcal {Z}}=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{\{n_{i}\}}\,^{\prime }\prod _{i}z^{n_{i}}e^{-\beta n_{i}E_{i}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

A segunda soma é restrita ao número total de partículas ser

N

. Uma maneira de fazer tal soma é somar primeiro sobre todos os

N

possíveis e depois multiplicar todos os níveis. Para um sistema de bósons, qualquer valor de

N

é permitido, logo:

{\mathcal {Z}}=\prod _{i}(1+ze^{-\beta E_{i}})^{-1}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

O potencial termodinâmico é então:

-PV(z,\beta )=\Omega (z,\beta )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i}\ln(1-ze^{-\beta E_{i}})

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Se o gás possuir apenas graus de liberdade translacionais em

d

dimensões (os demais casos podem ser tratados de forma análoga):

\Omega (z,\beta ,V^{(d)})={\frac {V^{(d)}}{\beta }}{\frac {2\pi ^{d/2}}{h^{d}\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }p^{d-1}\ln(1-ze^{-\beta p^{2}/2m})-{\frac {1}{\beta }}{\text{Li}}_{1}(z)

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde

\Gamma

é a função gama,

{\text{Li}}_{s}(z)

é a função polilogarítmica e

V^{(d)}

é o volume d-dimensional que o gás ocupa.

\Omega (z,\beta ,V^{(d)})=-{\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{2mh^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2+1}{\text{Li}}_{d/2+1}(z)-{\frac {1}{\beta }}{\text{Li}}_{1}(z)

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Note que a função polilogarítmica só está definida para

z

reais menores ou iguais a 1. O segundo termo que já estava presente na expressão anterior é a contribuição de momento zero, ou seja, do estado de menor energia.

Condensação de Bose-Einstein[editar | editar código-fonte]

O gás de bósons é o sistema mais simples que apresenta o fenômeno de condensação de Bose-Einstein. Para ver esse efeito, escrevemos o número médio de partículas:

N(z,\beta ,V^{(d)})=-\beta z{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}={\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{h^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2}{\text{Li}}_{d/2}(z)+{\text{Li}}_{0}(z)

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

O maior valor da função polilogarítmica acontece em

z=1

quando o número de partículas em estados excitados é:

N^{(p>0)}(z,\beta ,V^{(d)})={\frac {V^{(d)}(d-1)\pi ^{d/2}}{h^{d}}}\left({\frac {2m}{\beta }}\right)^{d/2}\zeta (d)

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Perceba que para

d>2

isso é um número finito que é atingido numa certa temperatura

T_{0}

. Todas as demais

N^{(p=0)}=N\left[1-\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{d/2}\right]

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

partículas deverão estar no estado fundamental, não importando quantas sejam (contanto que a aproximação de gás continue valendo).

A lei de Wiedemann-Franz afirma que a contribuição eletrônica para a condutividade térmica

\kappa

e condutividade elétrica

\sigma

de um metal é proporcional a temperatura. Esta é uma lei empírica definida por Gustav Wiedemann e Rudolph Franz em 1853,

{\frac {\kappa }{\sigma }}=LT

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Somente em 1872 o físico dinamarquês Ludvig Lorenz determinou a constante de proporcionalidade

L

. Essa constante é idêntica para todos os metais e é conhecida como número de Lorenz

L={\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {\pi ^{2}}{3}}\left({\frac {k_{b}}{e}}\right)^{2}=2.44\times 10^{-8}W\Omega /K^{2}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

A interligação entre a condutividade elétrica e a condutividade térmica é explicada pelo fato de que ambas as propriedades nos metais são consequência principal do movimento dos elétrons condutores. A lei Wiedemann-Franz foi explicada pela primeira vez pelo físico alemão P. Drude, que considerada em seu modelo que os elétrons do metal se comportavam como um gás de elétrons. No entanto, somente com o auxílio da mecânica quântica e da equação de Boltzmann, que a expressão exata para essa lei e o valor de

L

foram obtidos, e estavam de comum acordo com os dados experimentais. Experimentos mostram que o valor de

L

, apesar de aproximadamente constante, não tem o mesmo valor para todos os sólidos. Kittel [2] apresenta alguns valores de

L

entre

L=2,23\times 10^{-8}W\Omega /K^{2}

para o cobre a 0 °C e

L=3,2\times 10^{-8}W\Omega /K^{2}

para o tungstênio a 100 °C. Rosenberg [3] observou que a lei Wiedemann-Franz geralmente é válida para altas e baixas temperaturas, mas não funciona bem para temperaturas intermediárias.

Número de Lorenz $\left(\times 10^{-8}W\Omega /K^{2}\right)$
Metal	273 K	373 K
Ag	2.31	2.37
Au	2.35	2.40
Cd	2.42	2.43
Cu	2.23	2.33
Ir	2.49	2.49
Mo	2.61	2.79
Pb	2.47	2.56
Pt	2.51	2.60
Sn	2.52	2.49
W	3.04	3.20
Zn	2.31	2.33

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

quarta-feira, 7 de agosto de 2019

Descrição matemática[editar | editar código-fonte]

Potencial termodinâmico[editar | editar código-fonte]

Condensação de Bose-Einstein[editar | editar código-fonte]